1. Правило додавання. Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами.
2.Правило множення. Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами.
3.Перестановки. Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами.
4.Розміщення. Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити=способами.
5.Комбінації. Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити=способами.
Примітка. Скорочення факторіалів==5⋅6⋅7=21
ЗАДАЧІ до підготовки до ЗНО
1Студент на першому курсі повинен вибрати одну з трьох іноземних мов, яку вивчатиме, та одну з п’яти спортивних секцій, що відвідуватиме. Скільки всього існує варіантів вибору студентом іноземної мови та спортивної секції?
А
Б
В
Г
Д
5
8
10
15
28
Відповідь:Оскільки іноземну мову можна обрати 3 способами, а секцію – 5, то разом можна обрати 3⋅5=15 способами
2. Блок соціальної реклами складається з 4 рекламних роликів: про шкідливість паління, про охорону навколишнього середовища, про дотримання правил дорожнього руху та про велосипедне місто. Ролик про шкідливість паління заплановано показати двічі — першим і останнім, а інші три ролики — по одному разу. Скільки всього існує варіантів формування цього блоку соціальної за вказаним порядком рекламних роликів?
А
Б
В
Г
Д
6
8
12
24
120
Відповідь:Оскільки перший та останній ролик визначено, потрібно визначити лише порядок другого, третього і четвертого із запропонованих. Так як потрібно обрати порядок 3 елементів із 3 запропонованих, то маємо перестановки і їх кількість Р3=3!=1⋅2⋅3=6
3. Скільки всього різних п’ятицифрових чисел можна утворити з цифр 0,1,3,5,7 (у числах цифри не повинні повторюватися?
А
Б
В
Г
Д
5
24
25
96
120
Відповідь:Оскільки перша цифра не може бути 0, то на її місце підходить 4 варіанти, на друге – також 4 (одну цифру забрали, а 0 вже можна ставити, на 3- 3, на 4-2 і на останнє місце залишився один варіант. Маємо 4⋅4⋅3⋅2⋅1=96.
4. Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками і знаменниками яких є числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
А
Б
В
Г
Д
28
56
70
112
Інша відповідь
ВІДПОВІДЬ:Оскільки дріб правильний, якщо чисельник менше знаменника, і дроби та вважаються різними, хоча дорівнюють один одному, то для 2 у чисельнику маємо 7 варіантів знаменника, для 3 – 6, для 4 -5 , для 5-4, для 6-3, для 7-2, для 8-1, для 9-0. Отже кількість варіантів 7+6+5+4+3+2+1=28
5. У кіоску є 10 видів вітальних листівок з Новим роком. Скільки всього можна утворити різних наборів листівок, кожен із яких складається з трьох листівок різних видів
А
Б
В
Г
Д
30
90
120
240
720
ВІДПОВІДЬ : Оскільки порядок вибору листівок не важливий, то їх можна обрати=120 способами.
6. У школі є два одинадцятих класи. В 11-А класі навчається 12 хлопців та 8 дівчат, а в 11-Б – 9 хлопців та 15 дівчат. З учнів цих двох класів потрібно обрати двох ведучих для проведення святкового вечора, причому хлопець має бути з 11-А класу, а дівчина – з 11-Б. Скільки всього існує варіантів вибору таких пар ведучих?
ВІДПОВІДЬ: Оскільки хлопця можна обрати 12 способами, а дівчину – 15, то маємо 12⋅15=180.
7. Студенти однієї з груп під час сесії повинні скласти п’ять іспитів. Заступнику декана потрібно призначити складання цих іспитів на п’ять визначених дат. Скільки всього існує різних варіантів розкладу іспитів для цієї групи?
ВІДПОВІДЬ:Оскільки з 5 дат вибираємо 5, то це перестановки. Маємо Р5=5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120.
8. Скільки всього різних двоцифрових чисел можна утворити з цифр 1, 5, 7 і 8 так, щоб у кожному числі всі цифри не повторювалися?
ВІДПОВІДЬ: На перше місце можна поставити будь-яку з 4, а на друге – будь-яку з 3, що залишилися. Тому маємо 4⋅3=12.
9. Скільки всього існує різних двоцифрових чисел, у яких перша цифра є парною, а друга – непарною?
ВІДПОВІДЬ? На перше місце можна поставити будь-яку цифру з 4 (2,4,6,8), а на друге – будь-яку з 5 (1,3,5,7,9). Тому маємо 4⋅5=20.
10 Для роботи на уроках геометрії учню потрібно придбати лінійку й транспортир. У магазині канцелярських товарів у продажу є три види транспортирів та чотири види лінійок, а також два види наборів, що складаються з лінійки й транспортира. Скільки всього в учня є варіантів придбання лінійки й транспортира в цьому магазині?
ВІДПОВІДЬ Оскільки транспортир можна обрати 3 способами, а лінійку – 4, то обрати транспортир з лінійкою можна 3⋅4=12 способами. Крім того, маємо ще 2 набори. Тоді остаточно 12+2=14.
112019. У фінал пісенного конкурсу вийшло 4 солісти та 3 гурти. Порядковий номер виступу фіналістів визначають жеребкуванням. Скільки всього є варіантів послідовностей виступів фіналістів, якщо спочатку виступатимуть гурти, а після них — солісти? Уважайте, що кожен фіналіст виступатиме у фіналі лише один раз
ВІДПОВІДЬ Оскільки варіантів виступів гуртів P3=3!=1⋅2⋅3=6, а варіантів виступів солістів P4=4!=1⋅2⋅3⋅4=24, то варіантів виступів спочатку гуртів, а потім солістів 6⋅24=144.
12. 2019, пробне. Для оформлення салону краси вирішили замовити в магазині квітів 2 орхідеї різних кольорів та 5 кущів хризантем п’яти різних кольорів. Усього в магазині є в продажу орхідеї 10 кольорів та кущі хризантем 8 кольорів. Скільки всього є способів формування такого замовлення?
ВІДПОВІДЬОскільки орхідеї можна обрати способами, а хризантеми , то маємо ====9⋅5⋅7⋅8=2520 способів
13 Оленки є 8 різних фотографій з її зображенням та 6 різних фотографій її класу. Скільки всього в неї є способів вибрати з них 3 фотографії зі своїм зображенням для персональної сторінки в соціальній мережі та дві фотографії свого класу для сайту школи
ВІДПОВІДЬ:Оскільки свої фотографії можна обрати способами, а фотографії класу , то маємо ==840
14Марійка зірвала на клумбі 9 нарцисів та 4 тюльпани. Скільки всього існує способів вибору із цих квітів 3 нарцисів та 2 тюльпанів для букета?
Відповідь: Оскільки нарциси можна обрати способами, а тюльпани , то маємо ==504.
15Піцерія пропонує послугу “Зроби піцу сам”, що передбачає вибір клієнтом добавок для піци. Поміж добавок — 8 м’ясних (шинка, ковбаса та інші) і 9 овочевих (цибуля, перець та інші). Клієнт вибирає 2 м’ясні добавки, однією з яких обов’язково має бути шинка, і 3 — овочевих, за винятком цибулі. Скільки всього існує варіантів такого вибору добавок клієнтом?
ВІдповідь: Оскільки з 2 м'ясних добавок одна обов'язково шинка, то потрібно обрати 1 з 7, що залишилися, тобто її можна обрати способами. Потрібно обрати 3 овочеві добавки з 8 (цибулю виключаємо), їх можна обрати . Тоді існує ====7⋅7⋅8=392.
16 . В Оленки є 8 різних фотографій з її зображенням та 6 різних фотографій її класу. Скільки всього в неї є способів вибрати з них 3 фотографії зі своїм зображенням для персональної сторінки в соціальній мережі та дві фотографії свого класу для сайту
ВІДПОВІДЬ: Оскільки свої фотографії можна обрати способами, а фотографії класу , то маємо ==840.
17Для перевезення дітей формують колону, яка складається з п’яти автобусів і двох супровідних автомобілів: одного на чолі колони, іншого – позаду неї. Скільки всього існує різних способів розташування автобусів і супровідних автомобілів у цій колоні?
ВІДПОВІДЬ:
. Автобуси можна розставити 5! Способами, а автомобілі – 2! Способами, то маємо 5!⋅2!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅1⋅2=240
182019, додаткова сесія. У магазині в продажу є 6 видів тарілок, 8 видів блюдець та 12 видів чашок. Олена збирається купити бабусі в подарунок у цьому магазині або чашку та блюдце, або лише тарілку. Скільки всього є способів в Олени купити бабусі такий подарунок?
ВІДПОВІДЬ:
Блюдце можна вибрати 8 способами, а чашку - 12 способами. Тоді чашку та блюдце можна вибрати 8⋅12=96 способами. Тарілку можна вибрати 6 способами, тому чашку та блюдце, або лише тарілку можна вибрати 96+6=102 способами.
19 У чайному кіоску в наявності є лише розфасований у коробки по 100 г листовий чорний чай 8 видів, серед яких є вид «чорна перлина». Покупець вирішив придбати в цьому кіоску для подарункового набору три коробки чорного чаю трьох різних видів, серед яких обов’язково повинен бути вид «чорна перлина». Скільки всього в покупця є варіантів такого придбання трьох коробок чаю для набору з наявних у кіоску?
ВІДПОВІДЬ: Оскільки «чорна перлина» повинна бути обов’язково, то потрібно вибрати лише 2 коробки з 7, що залишилося. Тому маємо ==21
20. Скільки існує різних дробів , якщо m набуває значень 1; 2 або 4, а n набуває значень 5; 7; 11; 13 або 17?
ВІДПОВІДЬ:Оскільки чисельник може набувати 3 значень, а знаменник – 5, то за правилом добутку маємо 3⋅5=15 варіантів.
=!})
способами.
=!})
способами.
=
=5⋅6⋅7=21та
вважаються різними, хоча дорівнюють один одному, то для 2 у чисельнику маємо 7 варіантів знаменника, для 3 – 6, для 4 -5 , для 5-4, для 6-3, для 7-2, для 8-1, для 9-0. Отже кількість варіантів 7+6+5+4+3+2+1=28
!})
=120 способами.
способами, а хризантеми 
, то маємо 
=!}\cdot\frac{8!}{5!(8-5)!})
=
=
=9⋅5⋅7⋅8=2520 способів
способами, а тюльпани 
, то маємо 
=!}\frac{4!}{2!(4-2)!})
=504.
способами. Потрібно обрати 3 овочеві добавки з 8 (цибулю виключаємо), їх можна обрати 
. Тоді існує 
=!}\cdot\frac{8!}{3!(8-3)!})
=
=
=7⋅7⋅8=392.
=!})
=21
Комментариев нет:
Отправить комментарий